无衍射光束三角测量系统噪声处理的小波分析

　　1．无衍射贝塞尔光束

　　激光三角测量法是在长度、位移、表面粗糙度等几何量非接触精密测量中常用的方法。但传统的激光三角测量法受入射光束焦深的限制，需要对入射光束进行精确调焦，即测量系统需要配置一套精密调焦机构，以保证测量过程中被测对象始终处于测量系统的焦深范围以内。这不仅使测量系统结构复杂，而且对测量精度和测量速度均有影响。如采用无衍射贝塞尔光束作为入射光束，则可以较好地解决传统的激光三角测量法中的焦深限制问题。

　　无衍射光束是自由空间标量波动方程的一组特殊解，通常为零阶或高阶贝塞尔函数分布。

　　1987年，rnin给出了自由空间标量波动方程

　　（1）

　　的精确解［1,2］，即标量场以光速c传播进入自由空间z≥0区域的精确解形式为

　　E(x，y，z≥0，t）＝exp［i（k11z－ωt）］

　　A（）exp［ik⊥（xcos＋ysin）］ （2）

　　式中，A（）是角坐标的任意复函数；kH2＋k⊥2＝（）2，k11、k⊥分别是与波传播方向平行及垂直的波矢量。当k11是实数时，此解表示一个无衍射场。当A（）与无关，特别当A（）＝1时，此解表示一个完全轴对称的无衍射场，此时

　　E（x，y，z，t）＝exp［i（k11z－ωt）］J0（k⊥r) （3）

　　，J0是第一类零阶贝塞尔函数）为具有无衍射光场分布的光束，即无衍射光束。因为它具有贝塞尔函数分布，又称为无衍射贝塞尔光束，如图1所示。

　　理想的无衍射光束强度为

　　I（x，y，z0）＝｜E（r，t）｜＝I（x，y，z＝0） （4）

　　由于光束强度I与光束传播距离z无关，所以理想的无衍射光束具有中心光斑小（可达波长量级），且其直径和强度不随传播距离变化的优良特性。

　　无衍射光束的实现方法主要有环缝法、谐振腔法、Axicon法和球面像差法等［3，4］。其中Axicon（圆锥棱镜）法具有结构简单、能量利用率高等优点。下面讨论由Axicon法实现的无衍射光束三角测量系统中测量信号与测量误差的处理方法。

　　2．无衍射光束三角测量系统及其测量误差

　　由 Axicon法实现的无衍射光束三角测量系统的工作原理如图2所示。由激光器发出的光束经透镜后变成准直光束，且光束充满Axicon棱镜的整个孔径，光束经Axicon棱镜后形成无衍射光束，然后经被测物O反射至线阵CCD，线阵CCD将光信号转换为电信号，经A/D转换等信号处理过程后即获得测量数据。由于在无衍射范围内，被测物O的纵向测量范围始终处于光束焦深Z以内，因此无需精密调焦系统。

　　图2 无衍射光束三角测量系统工作原理

　　在无衍射光束三角测量系统中，理想的贝塞尔光束传播距离远（焦深长）、中心光斑小，理论上可使系统达到极高的测量精度，但实际测量中的噪声干扰会对系统测量精度产生严重影响。

　　在实际测量中，影响无衍射激光束三角测量系统精度的主要因素有Axicon棱镜的制造误差、激光光轴的漂移、散斑噪声、CCD器件光电噪声等。其中散斑噪声和CCD器件光电噪声是主要噪声源。散斑噪声是粗糙表面被相干光照射时，表面各面元上散射光波之间在空域内形成颗粒的结果，是由亮斑和暗斑组成的分布散乱的干涉图像，这种噪声用硬件方法几乎无法消除。CCD器件光电噪声主要包括Johnson噪声、电荷包输出电路噪声、电荷转移损失噪声、暗电流噪声及 CCD各象元感光不均匀等，也属于用硬件方法无法完全消除的噪声。这些噪声影响CCD测得的光束轮廓，影响光束最大峰值的位置（即影响中心光斑位置），从而严重影响被测物的位置测量精度，因此必须采取措施将其去除。

　　3．测量误差的小波去噪原理

　　信号与噪声是一对矛盾，要精确分析信号，就必须排除噪声的干扰。信噪分离是排除噪声干扰、消除测量误差的有效手段，因此寻找效果好且适应面广的信噪分离方法在理论和应用上都具有重要价值。

　　滤波方法是较常用的信噪分离方法。由于信号与噪声通常具有不同的频率特性，因此使用满足一定频率要求的滤波器对测量数据进行滤波，即可达到信噪分离的目的。采用传统的滤波方法时，滤波器的设计是一大难点，根据特定的信噪数据，必须设计能与之匹配的特定滤波器。然而，由于滤波器的设计是一个难度较高的专业性课题，因此往往限制了工程技术人员对滤波方法的应用。

　　小波分析方法的发展为信噪分离技术提供了一种新颖的滤波方法，它可适用于各种信噪数据的滤波，不需专门设计滤波器，为其实际应用提供了极大方便。

　　在工程应用中，小波级数是一种十分有用的数学工具，函数f(x)可展开成小波级数

　　（5）

　　其中，ψmn（x）＝2ψ（2mx－n），m，n∈Za。m不同，则ψm，n（x）所对应信号的频率也不同。由此可知，小波级数可将函数f（x）分解成不同频率信号成份的组合。通过剔除小波级数中的某些频率成份（噪声），即可达到信噪分离的目的。

　　然而，直接利用式（5）进行信噪分离很不方便，一个简单有效的方法是利用Mallat快速分解法或小波包算法。Mallat快速分解法在小波分析中的作用类似于快速傅立叶变换在傅立叶分析中的作用。

　　设f（n）(n=1,2,…,N)为被分析数据，令C0n＝f（n），用下式对f（n）进行分解：

　　（6）

　　式中，S为分解的层数，｛hi｝与｛gi｝为已设计好的小波滤波器。

　　Mallat快速分解法首先将数据f（n）分解为C1n与d1n，其中C1n为低频信号，d1n为高频信号。假设f（n）对应的频率ω满足｜ω｜＜Ω，则C1n所对应的频率满足，d1n所对应的频率满足。第二层分解是将C1n进行再分解。如此重复，则f（n）被分解成频率不同的成份：d1n，d2n，…，dsn，Csn。根据信号与噪声的频率特性，可以较容易地从这些频率不同的成份中区分出信号与噪声，从而完成信噪分离。

　　4．无衍射光束三角测量系统测量误差的小波处理

　　理想的贝塞尔光束信号是一曲线光滑、幅值变动较大的低频信号；而噪声的幅值变动较小，且呈不规则的随机状态，变动频率也较高，即噪声误差是高频信号。由于信号与噪声的频率特性不同，所以采用小波分析方法能将信号与噪声分离，进而剔除噪声误差。

　　图3所示是一模拟的理想贝塞尔光束信号，将它与图5所示的服从均匀分布的随机噪声相叠加，即得到存在噪声干扰的模拟信号，如图4所示。选用 Daubechies正交小波滤波器，根据式(6)对图4的信号数据进行三次小波分解，即可理想地分离信号与噪声，如图6和图7所示。通过多次理想光束加噪模拟试验，结果表明，经小波处理后，加噪光束峰值最大偏差由6μm减小到1μm，降噪效果显著。

　　如图8所示，CCD实测贝塞尔光束中含有噪声误差，中心光斑处出现多峰和峰值偏移，严重影响峰值的位置确定精度。

　　图4 理想光束信号+随机噪声

　　图5 服从均匀分布的随机噪声

　　图6 小波分离的噪声

　　图7 去噪后的贝塞尔光束信号

　　图8 CCD实测贝塞尔光束

　　图9所示为经小波处理后的实测贝塞尔光束。由图可见，经小波处理后，光束峰值位置突出、居中。经多次实测结果可知，实测信号峰值的最大偏差由3个像元减小到1个像元，使相应的位置测量精度显著提高。

　　图9 经小波处理后的实测贝塞尔光束

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